Geometria Euclidiana - Construções Geométricas - Matemática - Resumo


Introdução
Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, uma vez que há vários tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em 306 a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (300 a.C). Sobre a fama de Euclides, sabe-se pouco sobre sua vida e nem mesmo o local de nascimento. Euclides é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.


Ponto, Reta e Plano
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
  
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...
 
Plano: o quadro negro, a superfície de uma mesa, ...
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas. Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).
Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões "infinitos pontos" ou "infinitas retas", significam "tantos pontos ou retas quantas você desejar".


Pontos Colineares e semi-retas
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R, S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.
 
Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são denominadas semi-retas opostas.
Semi-reta
O ponto A é a origem da semi-reta que contém os pontos A e B e também é a origem da semi-reta que contém os pontos A e C, nas duas figuras ao lado. A semi-reta que contém os pontos A e B e a semi-reta que contém os pontos A e C são semi-retas opostas. A notação XY para uma semi-reta significa uma semi-reta que contém os pontos X e Y.

As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.


Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto chamadoorigem e terminam em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
AB e BC
são consecutivos
MN e NP
são consecutivos
EF e GH
não são consecutivos

Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
AB e CD
são colineares
MN e NP
são colineares
EF e FG
não são colineares

Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
 
Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são colineares

Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho ao lado, AB e CD são congruentes. A congruência entre os segmentos AB e CD é denotada por AB~CD, onde "~" é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.


Ponto Médio de um segmento
M é o ponto médio do segmento de reta AB, se M divide o segmento AB em dois segmentos congruentes, ou seja, AM~MB. O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.

Construção do ponto médio com régua e compasso
Com o compasso centrado no ponto A, traçamos um arco com o raio igual à medida do segmento AB;
Com o compasso centrado no ponto B, traçamos um outro arco com o mesmo raio que antes;
Os arcos terão interseção em dois pontos localizados fora do segmento AB;
Traçamos a reta (vermelha) ligando os pontos obtidos na interseção dos arcos;
O ponto médio M é a interseção da reta (vermelha) com o segmento AB.


Retas paralelas
Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes ("a mesma reta") elas são paralelas.
Retas paralelas
É usual a notação a||b, para indicar que as retas a e b são paralelas.
Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.
Construção de paralela com régua e compasso
Dada uma reta r e um ponto C fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por C. Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas "não Euclidianas", que embora sejam utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.
Centrar o compasso no ponto C, traçar um arco que corta a reta em E.
Com a mesma abertura do compasso, colocar a ponta seca do mesmo no ponto E e traçar um outro arco cortando a reta em F.
Do ponto E, com abertura igual à corda CF, traçar um arco para obter D.
Traçar uma reta ligando os pontos C e D e observar que a reta que passa em CD é paralela à reta que passa em EF.


Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).
Retas concorrentes


Retas perpendiculares
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação ab para indicar que as retas a e b são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Construir perpendicular com régua e compasso (1)
Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular à primeira, da seguinte forma:
Centrar o compasso no ponto P e com uma abertura maior do que a distância de P à reta e traçar um arco cortando a reta em dois pontos A e B;
Centrar o compasso no ponto A e com um raio igual à medida do segmento AB traçar um arco;
Centrar o compasso no ponto B e com a mesma abertura que antes traçar outro arco cortando o arco obtido antes no ponto C;
A reta que une os pontos P e C é perpendicular à reta dada, Portanto AB é perpendicular a PC.

Construir perpendicular com régua e compasso (2)
Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta dada, do seguinte modo:
Centrar o compasso no ponto P e marcar os pontos A e B sobre a reta que estão à mesma distância de P;
Centrar o compasso no ponto A e raio igual à medida de AB para traçar um arco;
Centrar o compasso no ponto B e com o mesmo raio, traçar um outro arco;
Os arcos cruzam-se em C;
A reta contendo PC é perpendicular à reta contendo o segmento AB.


Retas transversais e ângulos especiais
Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.
Retas tranversais
Na figura acima, a reta t é transversal às retas m e n e estas três retas formam 8 ângulos, sendo que os ângulos 3, 4, 5 e 6 são ângulos internos e os ângulos 1, 2, 7 e 8 são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas m e n.
Ângulos CorrespondentesEstão do mesmo lado da reta transversal.
Um deles é interno e o outro é externo.
1 e 52 e 63 e 74 e 8
Ângulos AlternosEstão em lados opostos da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos.
1 e 82 e 73 e 64 e 5
Ângulos ColateraisEstão do mesmo lado da reta transversal.
Ambos são externos ou ambos são internos.
1 e 72 e 83 e 54 e 6
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
alternosalternos internos3 e 64 e 5
alternos externos1 e 82 e 7
colateraiscolaterais internos3 e 54 e 6
colaterais externos1 e 72 e 8
Propriedades das retas tranversais
Se duas retas paralelas (em cor preta) são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Na figura ao lado, o ângulo 3 também é congruente aos ângulos 1 e 2.
Quando duas retas r e s são paralelas e uma reta transversal t é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.
Ângulos de lados paralelos: são ângulos cujos lados são paralelos, sendo que tais ângulos podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando ambos os ângulos são agudos, retos ou obtusos.
Suplementares: Quando ambos os ângulos são retos ou quando um deles for agudo e o outro obtuso.
Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e também podem ser congruentes ou suplementares.
Congruentes: Quando os dois ângulos são: agudos, retos ou obtusos.
Suplementares: Quando os dois ângulos são retos ou um dos ângulos é agudo e o outro obtuso.


Alguns exercícios resolvidos
Em todos os exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, levando em consideração cada figura anexada.
  1. Calcular a medida do ângulo x.
    Solução: x/2=40graus, pois são ângulos agudos de lados perpendiculares x=80º.
  2. Calcular a medida do ângulo x.
    Solução: 2x+40º=180º (ângulos de lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), logo x=70º.
  3. Calcular as medidas dos ângulos x e y.
    Solução: Como x+2x/3=180º (ângulos colaterais externos), então 3x+2x=540º, logo x=108º. Mas, y=2x/3 (ângulos opostos pelos vértices) e temos que y=72º
  4. Calcular as medidas dos ângulo a, b e c.
    Solução: Como b+120º=180º (ângulos com lados perpendiculares um deles agudo e o outro obtuso), então b=60º, mas a=c (ângulos agudos com lados perpendiculares) e a+b+90º=180º(soma dos ângulos de um triângulo). Assim: a=30º e c=30º.
  5. Calcular as medidas dos ângulos a e b, se as retas r, s e t são paralelas.
    Solução: Como a=35º (r||s e os ângulos correspondentes), segue que b-a=70º (s||t e os ângulos correspondentes). Assim b=105º.
  6. Se as retas r e t são paralelas, determinar as medidas dos ângulos a e b.
    Solução: a+125º=180º (ângulos com lados paralelos um agudo e outro obtuso) e b+60º=125º (ângulos agudos com lados paralelos). Logo a=55º e b=65º.

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